摘要：θ的微小变化与dθ的关系 在数学里，角度的微小变化有时候会牵扯到一个叫做dθ的概念。那么，dsinθ又等于多少dθ呢？接下来我们将从三个不同的角度来探讨这个问题。 解析法 我们
θ的微小变化与dθ的关系
在数学里，角度的微小变化有时候会牵扯到一个叫做dθ的概念。那么，dsinθ又等于多少dθ呢？接下来我们将从三个不同的角度来探讨这个问题。
解析法
我们可以通过解析的方式来得到dsinθ和dθ之间的关系。利用奥妙的微分技巧，我们可以将sinθ的微小变化表示成d(sinθ)=cosθdθ，其中我们假设θ是一个关于时间t的函数。同样地，求得cosθ的微小变化为d(cosθ)=-sinθdθ。注意到sin²θ+cos²θ=1，我们可以直接求得d(sin²θ)+d(cos²θ)=0。展开这个式子，我们得到2sinθd(sinθ)+2cosθd(cosθ)=0，移项之后化简得到dsinθ=-cosθdθ。
几何法
我们可以将这个问题转化为对于一个极小的角度变化dθ，对应的sinθ和sin(θ+dθ)之间的差值dsinθ。考虑一个单位圆，令点A在圆上处于角度θ的位置，点B在圆上处于角度(θ+dθ)的位置。连接点A和点B，此时弧AB是一个近似为直线的线段。显然，将这个线段与圆上与它相交的弦连起来，得到一个三角形。这个三角形的高就是dsinθ，我们只需要求得这个高，便能得到dsinθ与dθ的关系。
观察这个三角形，不难看出它是一个等腰三角形。设弦AB与x轴的夹角为α，则这个三角形在x轴上的投影为一条长为dθ的线段。由三角函数的定义，sinα=dθ/2。在右半个扇形中，三角形OAB与圆心角θ之比趋近于1。因此，三角形OAB的面积趋近于扇形OAB的面积，即1/2r²θ。于是我们得到了dsinθ=r(1-cosθ)dθ，其中r是单位圆的半径。
物理法
从物理的角度来看，我们可以将θ理解为物体转动的角度。在物理中，通常会用力矩M来描述力的作用对物体转动的影响。力矩的单位是牛·米（N·m），它的大小由力的大小和物体距离转轴的距离r共同决定。物体的角速度ω和角度θ之间由关系ω=dθ/dt给出，其中t是时间。
在受到力的作用下，物体会发生角加速度α，满足α=M/I，其中I是物体的转动惯量。类比牛顿第二定律F=ma，角加速度α即为角度的二阶导数。代入角速度的定义式可得M=I(d²θ/dt²)，从而我们得到dM=I(d²θ/dt²)dt=Id(ω/dt)dθ=Idωω=dL，其中L=Iω是角动量。因此，我们有dsinθ=dL/(r²p)=dL/(r²sin²θ)。我们只需要求出角动量L关于角度θ的导数，即可得到dsinθ与dθ的关系。
在标准惯性系下，角动量L关于角度θ的导数为dL/dθ=I(dω/dθ)=Iα，其中I是转动惯量，α是角加速度。于是我们得到dsinθ=-L/(r²sin²θ)dθ。特别地，对于一个质点而言，转动惯量I=r²m，其中m是质量。于是我们得到dsinθ=-mvr(dv/dθ)sinθdθ，其中v是质点的速度。这就是用物理法求出的dsinθ和dθ之间的关系式。
