摘要：掌握二项式定理，轻松解决排列组合问题 一、认识二项式定理 1.1 什么是二项式? 二项式是有两个项的代数式，例如(x+y)就是一个二项式。 1.2 什么是二项式定理? 二项式定理是说，对
掌握二项式定理，轻松解决排列组合问题
一、认识二项式定理
1.1 什么是二项式?
二项式是有两个项的代数式，例如(x+y)就是一个二项式。
1.2 什么是二项式定理?
二项式定理是说，对于任意实数a和b，以及任意非负整数n，都有：
(a + b)的n次方 = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n)*b^n
其中C(n,r)表示从n个不同元素中选出r个元素的不同组合数。
二、应用二项式定理求解排列组合问题
2.1 案例一：将5个物品分为两组，每组至少有一个物品，有多少种分法?
我们可以将这个问题转化为，从5个物品中选出1个、2个、3个或4个物品的不同组合，分别作为一组的物品。那么，我们可以使用二项式定理，将(a+b)^5展开：
(a+b)^5 = C(5,0)*a^5 + C(5,1)*a^4*b + C(5,2)*a^3*b^2 + C(5,3)*a^2*b^3 + C(5,4)*a^1*b^4 + C(5,5)*b^5
观察式子，我们需要将其中的a用一个组别的物品数表示，将b用另一组别的物品数表示，例如，如果我们用a表示选出1个物品，b表示选出4个物品，则有：
(1+b)^5 = C(5,0)*1^5 + C(5,1)*1^4*b + C(5,2)*1^3*b^2 + C(5,3)*1^2*b^3 + C(5,4)*1^1*b^4 + C(5,5)*b^5
我们可以看出，要将5个物品分为两组，每组至少有一个物品，其实就是将5个物品分为1个物品和4个物品两组的方案数，即上式中系数为C(5,1)=5的项的系数。
因此，5个物品分为两组，每组至少有一个物品，有5种不同的分法。
2.2 案例二：从10个人中选出4个人参加比赛，有多少种不同的方案？
这个问题的答案可以用10个人选出4个人的组合数来表示，即C(10,4)。也可以用二项式定理求解，设a表示参加比赛的人，b表示不参加比赛的人，则有：
(a+b)^10 = C(10,0)*a^10 + C(10,1)*a^9*b + C(10,2)*a^8*b^2 + ... + C(10,10)*b^10
我们要得到4个人参加比赛的不同方案数，可以通过对系数为C(10,4)的项求系数，即：
C(10,4) = C(10,4)*1^6*b^4 + C(10,4)*1^5*b^5 + C(10,4)*1^4*b^6 + ... + C(10,4)*a^4*b^6 + ... + C(10,4)*a^6*1^4
其中，C(10,4)=210。
因此，从10个人中选出4个人参加比赛，有210种不同的方案。
三、总结
二项式定理是很多排列组合问题求解的基础，通过掌握二项式定理，我们可以更加方便地求解这些问题。在应用过程中，一定要将问题转化为二项式展开的形式，选择合适的项求系数，再结合组合等基础知识进行计算。
