分层样本方差公式的推导（分层抽样方差公式推导）

摘要：分层抽样方差公式推导 引言：在实际数据分析过程中，我们通常会遇到抽样的问题，而分层抽样是一个常用的抽样方法。分层抽样是将总体分成若干个层次，然后在每个层次中独立地抽取一

分层抽样方差公式推导

引言：在实际数据分析过程中，我们通常会遇到抽样的问题，而分层抽样是一个常用的抽样方法。分层抽样是将总体分成若干个层次，然后在每个层次中独立地抽取一部分样本，以此来达到减少抽样误差、提高抽样效率的目的。而要计算分层抽样的样本方差，就需要推导出分层样本方差的公式。

第一部分：单层抽样方差公式的推导

第一步：首先我们从单层抽样开始推导。假设单层总体有N个元素，我们从中随机抽取n个元素作为样本，n<

其中，σ^2为总体方差，n为样本量。可以看出，样本均值的总体方差是与总体方差成反比的，样本量越大，样本均值的总体方差越小。表示样本方差的公式为：

其中，x是我们每次抽样得到的样本数据，而x̄是这些样本数据的均值。

第二部分：分层抽样方差公式的推导

第二步：接下来我们来推导分层抽样的样本方差公式。在分层抽样中，总体被分成K个层次（strata），每个层次有Nk个元素，每个层次的总体方差为σk^2，每个层次的样本量为nk。那么我们按照如下公式计算样本方差：

其中，s_k^2表示第k层的样本方差，公式为：

公式中，S_k是第k层的样本空间，x̄k是样本空间的均值。可以看出，分层抽样方差公式多了一个分层因子。这个分层因子表示不同层次的样本方差对总体方差的影响程度。

第三部分：样本方差的计算实例

第三步：最后我们来看一个实际的计算实例。假设我们要对某地区进行调查，该地区共有K个区域。我们按照区域进行抽样，每个区域中随机抽取1个社区进行调查，每个社区的调查人数为nk人，调查结果如下表所示：

假设每个社区的总体方差σ_k^2都相等。我们按照以下步骤来计算样本方差：

第一步：计算总体样本方差的估计

根据公式，总体样本方差的估计为：

计算结果为s^2=176.0912。

第二步：计算分层因子

我们来计算一下分层因子，即不同层次的样本方差对总体方差的影响程度：

第三步：计算样本方差

将第一步和第二步的结果代入分层抽样方差公式中：

计算结果为σ^2=179.2172。

这就是分层抽样样本方差的计算过程。

总结：分层抽样是一个常用的抽样方法，它可以提高抽样效率和减少抽样误差。在计算分层抽样的样本方差时，需要根据公式计算出总体样本方差的估计、分层因子和样本方差，这些步骤需要依次进行，计算过程较为繁琐。