摘要：如何用坐标求解四面体的体积？ 1. 确定四面体的顶点坐标 首先，我们需要确定四面体的顶点坐标。四面体共有四个顶点，用三维坐标系表示，每个顶点都可以表示成一个三元组(x, y, z)。
如何用坐标求解四面体的体积？
1. 确定四面体的顶点坐标
首先，我们需要确定四面体的顶点坐标。四面体共有四个顶点，用三维坐标系表示，每个顶点都可以表示成一个三元组(x, y, z)。如果我们已经知道四面体的顶点坐标，那么我们可以直接利用公式计算出它的体积。
2. 计算四面体的体积公式
四面体的体积公式为：V=1/3*S*h，其中S为底面积，h为底面到顶点的距离。
假设四面体的四个顶点坐标依次为A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)、C(x3, y3, z3)、D(x4, y4, z4)，那么底面积S可以用叉乘计算得到：
$$\\begin{aligned} \\overrightarrow{AB}&= \\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\\\ y_2-y_1 \\\\ z_2-z_1 \\end{pmatrix} \\cr \\overrightarrow{AC}&= \\begin{pmatrix} x_3-x_1 \\\\ y_3-y_1 \\\\ z_3-z_1 \\end{pmatrix} \\cr \\overrightarrow{AD}&= \\begin{pmatrix} x_4-x_1 \\\\ y_4-y_1 \\\\ z_4-z_1 \\end{pmatrix} \\cr S&= \\frac{1}{2}\\left|\\overrightarrow{AB} \imes \\overrightarrow{AC}\\right| \\cr &= \\frac{1}{2} \\left| \\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\\\ y_2-y_1 \\\\ z_2-z_1 \\end{pmatrix} \imes \\begin{pmatrix} x_3-x_1 \\\\ y_3-y_1 \\\\ z_3-z_1 \\end{pmatrix} \\right| \\cr &= \\frac{1}{2} \\left| \\begin{pmatrix} (y_2-y_1)(z_3-z_1) - (z_2-z_1)(y_3-y_1) \\\\ (z_2-z_1)(x_3-x_1) - (x_2-x_1)(z_3-z_1) \\\\ (x_2-x_1)(y_3-y_1) - (y_2-y_1)(x_3-x_1) \\end{pmatrix} \\right| \\end{aligned}$$
然后，我们需要计算出底面到顶点的高h。这可以用向量的点积来计算：
$$h = \\frac{\\left|(\\overrightarrow{AD} \\cdot \\overrightarrow{n})\\right|}{\\left|\\overrightarrow{n}\\right|} = \\frac{\\left|(\\overrightarrow{AD} \\cdot (\\overrightarrow{AB} \imes \\overrightarrow{AC}))\\right|}{\\left|\\overrightarrow{AB} \imes \\overrightarrow{AC}\\right|}$$
这样，我们就可以将底面积S和高h带入公式计算出四面体的体积了。
3. 实例演练
假设四面体的四个顶点坐标依次为A(1, 2, 3)、B(4, 5, 6)、C(7, 8, 9)、D(10, 11, 12)。根据上面的公式，我们可以计算出底面积为：
$$\\begin{aligned} S&= \\frac{1}{2} \\left| \\begin{pmatrix} (4-1) \\\\ (5-2) \\\\ (6-3) \\end{pmatrix} \imes \\begin{pmatrix} (7-1) \\\\ (8-2) \\\\ (9-3) \\end{pmatrix} \\right| \\cr &= \\frac{1}{2} \\left| \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 12 \\\\ -6 \\end{pmatrix} \\right| \\cr &= 9 \\end{aligned}$$
再计算出底面到顶点的高h为：
$$\\begin{aligned} h &= \\frac{\\left| \\begin{pmatrix} (10-1) \\\\ (11-2) \\\\ (12-3) \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 12 \\\\ -6 \\end{pmatrix} \\right|}{\\left| \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 12 \\\\ -6 \\end{pmatrix} \\right|} \\cr &= \\frac{\\left| \\begin{pmatrix} -54 \\\\ 108 \\\\ -54 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 12 \\\\ -6 \\end{pmatrix} \\right|}{\\left| \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 12 \\\\ -6 \\end{pmatrix} \\right|} \\cr &= \\frac{54\\cdot6+108\\cdot12+54\\cdot6}{\\sqrt{6^2+12^2+6^2}} \\cr &= 24\\sqrt{6} \\end{aligned}$$
因此，四面体的体积为：
$$V = \\frac{1}{3} \imes 9 \imes 24\\sqrt{6} = 72\\sqrt{6}$$
通过上面的实例演练，我们可以看到，用坐标求解四面体的体积并不难，只需要掌握好三维空间向量的相关知识，就可以轻松求解。需要注意的是，在实际计算过程中，要注意算式的精度和符号的正负。
