线性代数科学出版社范益政课后答案详解（线性代数科学出版社范益政课后答案详解—全面掌握线性代数的方法与

摘要：线性代数科学出版社范益政课后答案详解—全面掌握线性代数的方法与技巧一、线性方程组解法的一般过程： 1、降阶梯形化：降阶梯形化是通过初等行变换，将增广矩阵变为行阶梯形

线性代数科学出版社范益政课后答案详解—全面掌握线性代数的方法与技巧

一、线性方程组解法的一般过程：

1、降阶梯形化：

降阶梯形化是通过初等行变换，将增广矩阵变为行阶梯形或简化阶梯形。解从$Ax=b$到解决矩阵$[A | b]$，从而求解方程组。求得行阶梯形和简化行阶梯型后再去解未知数，此过程可以展开如下：

1. 用$1/a_{11}$乘以第一行，使得$a_{11}=1$。 2. 用$-a_{i1}$乘以第一行添加到第$i$行上。 3. 第$i+1$行以下，把列$i$以下的元素全都变为$0$，可以利用$a_{i1}$乘以第$i+1$行添加到第$i$行上。 4. 重复以上操作，逐行对第$i+1$行~第$n$行操作。然后，可以求出未知数，从最后一个非零行到第一个非零行，依次求解。即对于第$i$行，方程中将$a_{ii}x_i$提出进行解,再代入下一行求解未知数，重复ited

2、求逆矩阵：

一个矩阵$A$是可逆的，当且仅当 $[A|Id]$经过行列变换时成为$[Id|A^{-1}]$。

为了求解矩阵的逆，可以通过多次采用初等行变换将其化为单位矩阵。而进行行变换前，可以先构造一个新矩阵，其中左边半部分元素为待求矩阵，右半部分元素为单位矩阵。这条纵向虚线右边的$n\imes n$单位矩阵可以标记为$[I|A^{-1}]$。矩阵左半部分必须变为$I$，所以最初的单位矩阵$I_n$将被逐渐变换成$A^{-1}$。

3、 Cramer法则：

对于线性方程组$Ax=b$,如果系数矩阵$A$的行列式$det(A)\ eq 0$，则该方程组有唯一解，并可以用Cramer法则求解。

其主要步骤为：首先计算系数矩阵$A$的行列式$det(A)$。然后，依次将b替换为$A$的每一列，即：

$$ x_i=\\frac{det(A_i)}{det(A)},i=1,2,\\dots,n $$

其中$A_i$是将$A$的第$i$列替换为$b$所得到的矩阵。

二、特征向量和特征值的计算方法：

1、特征值：

特征值理解为在矩阵$A$进行线性变换过程中，某些方向不变的点乘常数，称之为特征值，可以利用$det(\\lambda I-A)=0$求解。

2、特征向量：

特征向量为变换过程中不变方向上的向量即为矩阵$A$的特征向量。通俗地说，对非零向量$x$和标量$\\lambda$，若满足$Ax=\\lambda x$，则称$x$为$A$的对应于特征值$\\lambda$的特征向量。

三、奇异值分解：

1、奇异值分解的概念：