圆球体积公式推导（推导圆球体积公式）

摘要：推导圆球体积公式引言：圆球是我们生活中经常遇到的一种几何体，它的体积是我们需要经常计算的数值之一。在此，我们将推导一下圆球的体积公式。第一步：定义圆球圆球是由所有到

推导圆球体积公式

引言：圆球是我们生活中经常遇到的一种几何体，它的体积是我们需要经常计算的数值之一。在此，我们将推导一下圆球的体积公式。

第一步：定义圆球

圆球是由所有到一个定点距离相等的点所组成的几何体。定点叫做圆心，定点到圆上的点的距离叫做半径。

第二步：推导圆球表面积公式

根据圆的性质可知圆的面积公式为$A=\\pir^{2}$，其中$r$为圆的半径。将圆围绕其直径旋转一圈就可以得到圆球表面积公式。圆球的表面积$S_\ext{表}$可以表示为：

$$S_\ext{表}=4\\pir^{2}$$

其中$r$为圆球半径。

第三步：推导圆球体积公式

我们将圆球划分成无数个小的立方体，每个小立方体的体积为$V_i$，注意这里的长度单位其实是球的半径。这样分割后可以得到$N$个小立方体，则圆球体积近似可以表示为：

$$V=\\sum_{i=0}^{N}V_{i}$$

接着，我们考虑如何计算一个小立方体的体积$V_i$。如下图所示：

其中，$x$和$y$都是圆的半径。我们可以发现，每个小立方体的边长为$2x$，高为$dy$。因此，一个小立方体的体积为：

$$V_{i}=(2x)^{2}dy=4x^2dy$$

将小立方体的体积代入式子：

$$V=\\sum_{i=0}^{N}4x^2dy$$

这里要对$dy$进行积分得到圆的范围，当$y=r$时，$-r\\leqx\\leqr$。直接对$dy$求积分得到：

\\begin{aligned}V&=\\int_{-r}^{r}4x^{2}dy\\\\&=\\lim_{n\o\\infty}\\sum_{i=1}^{n}4\\cdot\\left(-\\frac{r}{n}+i\\cdot\\frac{2r}{n}\\right)^{2}\\cdot\\frac{2r}{n}\\\\&=\\lim_{n\o\\infty}4\\cdot\\frac{4r^{3}}{3n^{3}}\\cdot\\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\\\\&=\\frac{4}{3}r^{3}\\end{aligned}

由此，我们得到了圆球的体积公式为：

$$V=\\frac{4}{3}\\pir^{3}$$